Polinômios
Vamos resolver uma questão envolvendo polinômios do vestibular da FUVEST 2001 - 1ª fase.
A questão é:
Se uma das raízes é i + 1, a outra será seu conjugado. Logo, as raízes deste polinômio serão:
x1 = 1 + i
x2 = 1 - i
x3 = α
x4 = β
As relações de Girardi nos dizem que:
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1. x2 . x3 . x4 = e/a
Dados:
a = 1
b = 0
e = 6
Então,
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
1 + i + 1 - 1 + α + β = -0/1
2 + α + β = 0
α + β = -2
x1. x2 . x3 . x4 = e/a
(1 + 1).(1 - i). α . β = 6/1
(12 - i2) . α . β = 6
2. α . β = 6
α . β = 6/2
α . β = 3
Teremos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema acima:
α . β = 3
α = 3 / ( β )
Subsituindo em α + β = -2:
α + β = -2
3 / ( β ) + β = -2
3 + β 2 = -2 . β
β 2 + 2 . β + 3 = 0
Usando Báskara:
Δ = 22 - 4.1.3
Δ = 4 - 12
Δ = -8
Como Δ é menor que zero ( Δ < 0), a raíz β não é real. Logo, a raíz α também não será real.
Portanto, não haverá raízes reais para este polinômio.
ALTERNATIVA A
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