Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

Vamos resolver uma questão envolvendo P.A e P.G do vestibular da FUVEST 2001 - 1ª fase.

A questão é:


A P.A e P.G são:

P.A (4, 4 + r, 4 + 2r,...)
P.G (4, 4q, 4q²,...)

A questão nos diz que os terceiros termos da P.A e da P.G coincidem. Então,

4 + 2r = 4q²

Ela nos diz também que o segundo termo da progressão aritmética excede a geométrica em 2. Logo,

(4 + r) - 4q = 2

Isolando r da expressão, teremos:

4 + r - 4q = 2
r = 2 - 4 + 4q
r = 4q - 2

Substituindo em 4 + 2r = 4q², vamos ter:

4 + 2(4q - 2) = 4q²
4 + 8q - 4 = 4q²
8q - 4q² = 0
q(8 - 4q) = 0
q' = 0

8 - 4q = 0
-4q = -8
q = 8/4
q'' = 2

Se q for igual a 0, os terceiros termos da P.A e da P.G não serão iguais. Logo,

q = 2

Se q = 2, então r será:
r = 4q - 2
r = 4.2 - 2
r = 8 - 2
r = 6

Substituindo q = 2 e r = 6 na P.A e na P.G. teremos:

P.A (4, 4 + 6, 4 + 2.6,...) = (4,10,16,...)
P.G (4, 4q, 4q²,...) = (4,8,16,..)

Portanto, o terceiro termo da P.A. e da P.G vale 16.

ALTERNATIVA D

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