Vamos resolver uma questão envolvendo polinômios do vestibular da FUVEST 2001 - 1ª fase.
A questão é:
A questão nos informa que a ≤ 0. Se o a = 0, nós teremos:
p(x) = a(x2 - 4)
p(x) = 0.(x2 - 4)
p(x) = 0
Então, nosso polinômio será uma função constante 0, que coincide com reta x do sistema cartesiano e vai interceptar o gráfico f em 6 pontos.
Logo, a = 0 não nos serve.
Para a < 0, teremos as seguintes funções f(x) e p(x) abaixo:
A função p(x) será uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Observando o gráfico, vemos que o eixo de simetria coincide com o eixo y onde x = 0. Então,
p(x) = a(x2 - 4)
p(0) = a(02 - 4)
p(0) = -4a
Então, o vértice da parábola vale V(0,-4a).
E para o polinômio p(x) interceptar f(x) em 4 pontos distintos, a ordenada do vértice -4a deve ser maior que 0 e menor que 2.
(veja a posição de V no gráfico)
