Multiplicação de Matrizes

Capítulo 10

Seção 10.9

Seja a matriz quadrada A igual a:
na figura temos uma matriz A 2 por 2 com os elementos a11, a12, a21 e a22.

E seja a matriz quadrada B igual a:
na figura temos uma matriz B 2 por 2 com os elementos b11, b12, b21 e b22.

O produto da matriz A com B será:
na figura temos o produto das matrizes A com B com uma matriz resultante com os elementos (a11b11 + a12b21), (a11b12 + a12b22),
(a21b11 + a22b21), (a21b12 + a22b22)

Observando o produto A.B, vemos que a matriz resultante também é uma matriz de ordem 2.

Vejamos os primeiros 4 passos dessa multiplicação:

1o. passo - multiplicamos o primeiro elemento de A que esteja na primeira linha com primeiro elemento de B que esteja na primeira coluna.
2o. passo - colocamos um sinal de adição.
3o. passo - multiplicamos o segundo elemento de A que esteja na primeira linha com segundo elemento de B que esteja na primeira coluna.
4o. passo - somamos estes produtos e encontramos o 1o. elemento da primeira coluna da matriz resultante.

Os passos para acharmos o segundo, terceiro e quarto elementos são análogos a estes.

E se as matrizes forem de tipos diferentes ?

A multiplicação é possível, desde que tomemos um pequeno cuidado: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz

Exemplo:

na figura temos uma matriz A 3 por 2 com os elementos a11, a12, a21, a22, a31 e a32.
na figura temos uma matriz B 2 por 3 com os elementos b11, b12, b13, b21, b22 e b23.
na figura temos uma multiplicação das matrizes A e B de ordem 3 por 3.

A matriz resultante neste caso, terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
na figura temos a matriz A de ordem 3 por 2 multiplicando a matriz B 2 por 3 que resulta na matriz C
de ordem 3 por 3.

Uma matriz A_{6 x 2} multiplicada com uma matriz B_{2 x 4} vai gerar uma matriz C_{6 x 4}
Uma matriz A_{4 x 3} multiplicada com uma matriz B_{3 x 4} vai gerar uma matriz C_{4 x 4}
Uma matriz A_{7 x 3} multiplicada com uma matriz B_{5 x 2} não gera matriz alguma, pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.

Exercícios:

1) Sejam as matrizes abaixo:

na figura temos a matriz A de ordem 2 por 2 com os elementos -1, 4, 6 e 9 e a matriz B de ordem 2 por 2 com os elementos -2,
-3, 5 e 1.

Multiplique a matriz A pela matriz B.

Resolução:

na figura temos a multiplicação das matrizes A e B e a matriz resultado que é a matriz A vezes B de ordem 2 por 2 com os
elementos 22, 7, 33 e -9.

2) Sejam as matrizes abaixo:

na figura temos as matrizes A de ordem 2 por 2 de elementos 5, 1, 10 e 3 e a matriz B de ordem 2 por 1 de elementos -3 e 2.

Multiplique a matriz A pela matriz B.

Resolução:

na figura temos a multiplicação das matrizes A e B e a matriz resultado que é a matriz A vezes B de ordem 2 por 1 com
os elementos -13 e -24.

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