Matriz Inversa

Capítulo 10

Seção 10.10

Definição:

Sejam A e B matrizes quadradas. Se multiplicarmos a matriz A por B e resultar uma matriz identidade, dizem que a matriz B é inversa de A.

Notação:

A.B = B.A = I, B é uma matriz inversa

A matriz inversa de uma matriz A também pode ser representada por A^-1

Portanto,

A.A^-1 = A^-1.A = I_n

- A matriz identtidade deve ser da mesma ordem da matriz A e da matriz inversa A^-1
- Se a matriz A possui uma inversa, ela é chamada de matriz inversível. Se a matriz não possuir inversa é chamada de singular.
- Quando a matriz é inversível, sua inversa é única.

Exemplo:

(FEI-SP) Sejam as matrizes:

na figura temos duas matrizes. A matriz A de elementos 1, 2, 2 e 1 de ordem 2 por 2 e uma B de elementos 3, 1, 0 e 2 de
ordem 2 por 2.

Determine X = (A.B^-1)^t

Para resolvermos essa questão, necessitamos da matriz inversa B^-1
Portanto, vamos multiplicar a matriz B por B^-1 e igualar a matriz identidade I de ordem 2.

A matriz B^-1 terá o seguintes elementos:
na figura temos a matriz inversa B elevado na menos 1 de ordem 2 por 2 com os elementos a, b, c e d.
Multiplicando B por B^-1, teremos:
na figura temos a multiplicação da matriz B com a inversa B na menos um que resulta numa matriz identidade de ordem 2 por 2. na figura temos o resultado da multiplicação de B com B na menos um que temos os elementos (3a + c), (3b +d), 2c e 2d. Essa
multiplicação é igual a matriz identidade de ordem 2 por 2.
Observando a matriz B.B^-1 vemos que existem dois sistemas:

3a + c =1
3b + d = 0

2c = 0
2d = 1

Resolvendo os sistemas, teremos:

2c = 0 => c = 0/2 => c = 0
2d = 1 => d = 1/2
3a + c = 1 => 3a + 0 = 1 => 3a = 1 => a = 1/3
3b + d = 0 => 3b + 1/2 = 0 => 3b = -1/2 => b = -1/6

Agora que temos os valores de todos os elementos da matriz inversa B^-1, vamos calcular o valor da matriz A.B^-1.
na figura temos a multiplicação da matriz A com a inversa de B que resulta numa matriz de ordem 2 por 2 com os elementos
1/3, 5/6, 2/3 e 1/6.
Vamos encontrar agora a matriz transposta de A.B^-1
nesta figura temos a transposta de A vezes a inversa de B que é uma matriz 2 por 2 com os elementos 1/3, 2/3, 5/6 e 1/6.
Portanto, a matriz X é:

na figura temos a matriz X é uma matriz 2 por 2 com os elementos 1/3, 2/3, 5/6 e 1/6.

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