Mudança de Base

Capítulo 7

Seção 7.6

As propriedades que vimos nas aulas anteriores são para logaritmos de mesma base. Mas o que acontece se as bases forem diferentes ?

Quando as bases são diferentes nós fazemos uso de uma técnica chamada mudança de base.

Demonstração:

Veremos agora dois logaritmos de mesmo logaritmando, mas com bases diferentes:

log_ab = x => a^x = b
log_cb = y => c^y = b

Da igualdade acima, concluímos que a^x = c^y (O b corresponde a estas duas potências.)

Agora vamos colocar um logarítmo de base c ao lado de a^x e c^y.

Vai ficar:

log_ca^x = log_cc^y
x.log_ca = y. log_cc
x.log_ca = y. 1

Substituindo x e y, teremos:

log_ab . log_ca = log_cb

Isolando log_ab, teremos:

log_ab = log_cb
              log_ca

Portanto, a nossa mudança de base será dada por:

log_ab = log_cb
              log_ca

Exemplo 1:

Dado log 3 = 0,3 e log 5 = 0,5, calcule log₃15.

Neste exemplo, nós temos duas bases: a 10 que é oculta e a base 3. Deixando tudo na base 10 e usando a mudança de base, teremos:

Portanto, log₃15 = 8/3.

Exemplo 2:

Sendo log_dc = 4, calcule log_c³d⁷.

Aqui vamos deixar tudo na base d e usaremos a mudança de base:

log_c³d⁷ = log _dd⁷     =>
                 log_dc³

7.log_dd   =>
3.log_dc

Fazendo as substituições:

7.1    => 7/12
3.4

Logo, log_c³d⁷ = 7/12