Equações Logarítmicas são aquelas que possuem um logaritmo.
a) Resolva a equação log5x = 2.
Neste exemplo, o nosso x é o logaritmando. Conforme a definição de logaritmo, ele deve ser maior que 0.
Portanto, x > 0 (Condição de Existência).
Resolvendo nossa equação, temos:
log5x = 2 => 52 = x => x = 25.
Como o x = 25, ele satisfaz a nossa condição de existência, porque 25 > 0.
Logo, o nosso conjunto-solução é:
S = {25}
b) Resolva a equação log8(x2 - 2x) = 1.
(Condição de Existência): x2 - 2x > 0
Resolvendo a equação:
log8(x2 - 2x) = 1 => 81 = x2 - 2x => x2 - 2x = 8 => x2 - 2x - 8 = 0
Aplicando Baskara, teremos:
Δ = 36
x = (2 ± 6)/2 => x' = 4 e x'' = -2
Substituindo x' e x'' na condição de existência, temos:
x2 - 2x > 0 => 42 - 2(4) > 0 => 16 - 8 > 0 => 8 > 0. (V)
x2 - 2x > 0 => (-2)2 - 2(-2) > 0 => 4 + 4 > 0 => 8 > 0. (V)
Logo, nosso conjunto-solução é:
S = {-2,4}
c) Resolva a equação log4(2x2 - 2x) = log4(x2 - 5x)
(Condição de Existência):
2x2 - 2x > 0
x2 - 5x > 0
Resolvendo a equação, teremos:
log4(2x2 - 2x) = log4(x2 - 5x) = 2x2 - 2x = x2 - 5x =>
2x2 - x2 - 2x + 5x => x2 + 3x = 0.
Raízes:
x2 + 3x = 0.
x(x + 3) = 0
x' = 0
x'' = -3
Substituindo x' e x'' na condição de existência, temos:
2(0)2 - 2.0 > 0 => 0 > 0. (F)
02 - 5.0 > 0 => 0 > 0. (F)
2(-3)2 - 2.(-3) > 0 => 18 + 6 > 0 => 24 > 0. (V)
(-3)2 - 5(-3) > 0 => 9 + 15 > 0 => 24 > 0. (V)
Logo, nosso conjunto-solução será:
S = {-3}