O Cone
Definição:
O cone é um poliedro formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus lados.
Cones oblíquos e retos
Elementos de um cone
base - área do círculo
altura h - vai do plano da base π até o vértice V.
geratriz - qualquer reta pertencente a área lateral delimitada pelo vértice e um ponto da circunferência da base.
raio R - raio do círculo da base
eixo de rotação: reta que vai do centro O do círculo até o vértice V.
Cone Reto
Quando o eixo de rotação for perpendicular à base dizemos que o cone é
reto ou de revolução.
Podemos calcular o valor da geratriz usando o Teorema de Pitágoras:
g2 = h2 + R2
Secção Meridiana
Sendo o eixo de rotação pertencente a um plano π e que este corta um cone de revolução
dizemos que a secção formada é secção meridiana.
Se a secção meridiana formada for um triângulo equilátero, o cone de revolução também
será equilátero:
Áreas do Cone
Expandindo um cone, teremos a seguinte figura:
- Área lateral:
A área lateral de um cone é a área do setor circular:
- A área da base é a área do círculo de raio R:
AB = π . R2
- A área total é a soma da área da base com a área lateral:
AT = AB + AL
AT = π . R2 + π . R.g
AT = π . R2(R + g)
Volume
O volume do cone é dado por:
onde h é a altura do cone.
Exercício:
(ITA-SP) - Qual o volume de um cone circular reto se a área da superfície lateral é de 24 . π cm2 e o raio de sua base mede 4 cm ?
a) (16/3) . π √ 20 cm3
b) (√24/4) . π cm3
c) (√24/3) . π cm3
d) (8/3) . √24 . π cm3
e) (1/3) . √20 . π cm3
Solução:
A área lateral é dada por:
AL = π . R.g
Mas, AL = 24cm2 e R = 4cm. Logo,
AL = π . R.g
24.πcm2 = π . 4cm.g
Isolando g:
g = 24.πcm2 / π . 4cm
g = 6cm
Sabemos que:
g2 = h2 + R2 (cone circular reto)
(6cm)2 = h2 + (4cm)2
36cm2 = h2 + 16cm2
36cm2 - 16cm2 = h2
20cm2 = h2
h2 = 20cm2
h = √ 20cm
O volume do cone é:
VCONE = (1/3).π.R2.h
VCONE = (1/3).π.(4cm)2.√ 20cm
VCONE = (1/3).π.16cm2.√ 20cm
VCONE = (16/3).π √ 20cm3
ALTERNATIVA A
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