Sinal de Uma Função de Segundo Grau

Capítulo 4

Seção 4.7

Caso 1:

Para Δ > 0, temos numa função de segunda grau duas raízes distintas: x' e x'' com x' > x''.

A partir daí, podemos esboçar o gráfico da função geral ax² + bx + c.

Caso 2:

Para Δ = 0, temos numa função de segunda grau duas raízes iguais: x' = x''.

A partir daí, podemos esboçar o gráfico da função geral ax² + bx + c.

Caso 3:

Para Δ < 0, não existe zero real para a função.

O esboço do gráfico da função geral ax² + bx + c fica de seguinte forma:

Exercício:

Dada a função f(x) = x² - 3x - 4 = 0, para quais valores de x nós temos:

a) f(x) > 0
b) f(x) = 0
c) f(x) < 0

Resolução:

Para encontrar as raízes, vamos usar Bhaskara. Primeiro acharemos o Δ.

Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4.1.(-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

Agora vamos calcular as raízes:

x = (-b ± √ Δ)/2a
x = (-(-3) ± √ 25/2.1
x = (3 ± 5)/2

x' = (3 + 5) / 2
x' = 8/2
x' = 4

x'' = (3 - 5) / 2
x'' = -2 / 2
x'' = -1

Nossas raízes são x' = 4 e x'' = -1

Logo,
a) Para f(x) > 0, temos { x ∈ IR | x > 4 ou x < -1 }
b) Para f(x) = 0, temos x = -1 ou x = 4
c) Para f(x) < 0, temos { x ∈ IR | -1 < x < 4 }

Nosso gráfico tem a concavidade voltada para cima, porque o a = 1 > 0.