Valores de Máximo e Mínimo de Uma Função de Segundo Grau

Capítulo 4

Seção 4.6

Valor Mínimo de Uma Função

Vimos no capítulo sobre funções que seus valores são dados por f(x) ou y. Para encontrarmos os valores mínimos de uma função devemos trabalhar com a imagem deste.

Vejamos a figura abaixo:


O valor mínimo desta função é dado pelo elemento y do par ordenado do vértice, ou seja, por y_v = -Δ/4.a
Logo, a imagem da minha função nesse caso será Im = { y ∈ IR | y ≥ -Δ/4.a }

Só encontramos o valor mínimo nas funções onde a > 0 e para qualquer valor de Δ, ou seja, quando Δ > 0, Δ < 0 ou Δ = 0.

Portanto, o valor mínimo de uma função é dado por:

Valor Mínimo = -Δ/4.a

Valor Máximo De Uma Função

Vejamos a figura abaixo:


O valor máximo desta função também é dado pelo elemento y do par ordenado do vértice, ou seja, por y_v = -Δ/4.a
Logo, a imagem da função nesse caso será Im = { y ∈ IR | y ≤ -Δ/4.a }

Encontramos o valor máximo nas funções onde a < 0 e para qualquer valor de Δ, ou seja, quando Δ > 0, Δ < 0 ou Δ = 0.

Portanto, o valor máximo de uma função também é dado por:

Valor Máximo = -Δ/4.a

Resumindo:

Para a > 0, temos o valor mínimo para a função.
Para a < 0, temos o valor máximo para a função.

Exercício:

A função f(x) = -3x² - 6x + 2 tem valor máximo ou mínimo ? E qual é este valor ?

Resolução:

Dados da função:

a = -3
b = -6
c = 2

O valor de a nessa função é -3. Portanto, a < 0. Logo, nós temos um valor de máximo na função de 2o. grau.

Para acharmos o valor máximo, devemos calcular primeiro o Δ.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-6)² - 4.(-3).2
Δ = 36 + 24
Δ = 60

Agora, vamos achar o valor máximo da função:
valor máximo = -Δ/4.a
valor máximo = -60/4.(-3)
valor máximo = -60/-12
valor máximo = 5

Portanto, o valor máximo é igual a 5.