Geometria Plana


Vamos resolver uma questão envolvendo geometria plana do vestibular da UFRGS 2016.

A questão é:



A região sombreada possui 4 lados:

L1, L2, L3 e L4.



Vamos chamar de L1 o valor do lado que tem o mesmo tamanho da reta PS. Como PS, vale metade do valor de OS, já que P é ponto médio, então
PS = OS/2 ou PS = 6/2 = 3.

Portanto, L1 = 3, já que PS e L1 têm o mesmo valor.

Usando o mesmo raciocínio para a reta QR, descobriremos que ela possui o valor 3, ou seja, QR = OR/2 = 6/2 = 3.

Fazendo L2 = QR, teremos então que L2 = 3.

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Para descobrir o valor de L3, vamos primeiro calcular o valor da área do setor circular para r = 6.

Área = ( α . π . r² ) / 360^o

Dados:

α = 60^o r = 6

Então,

Área = ( α . π . r² ) / 360^o
Área = ( 60^o . π . 6² ) / 360^o
Área = ( π . 36 ) / 6
Área = 6 π

O valor do lado L de uma área circular é dado por:

Área = (r.L)/2

Como r = 6 e Área = 6 π , temos:

Área = (r.L)/2
6 π = (6.L)/2
6 π = 3L
L = 6 π / 3
L = 2 π

Portanto L3 = L = 2 π .

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Para descobrir o valor de L4, vamos primeiro calcular o valor da área do setor circular para r = 3.

Área = ( α . π . r² ) / 360^o

Dados:

α = 60^o π = 3

Então,

Área = ( α . π . r² ) / 360^o
Área = ( 60^o . π . 3² ) / 360^o
Área = ( π . 9 ) / 6
Área = 3/2 π

Área = (r.L)/2

Como r = 3 e Área = 3/2 π , temos:

Área = (r.L)/2
3/2 π = (3.L)/2
π = L
L = π

Portanto L4 = L = π .

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O perímetro é dado por P = L1 + L2 + L3 + L4

Portanto,

P = 3 + 3 + 2 π + π
P = 6 + 3 . π

ALTERNATIVA C

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