Geometria Plana


Vamos resolver uma questão envolvendo geometria plana do vestibular da UFRGS 2016.

A questão é:



Em primeiro lugar, vamos calcular os pontos de interseção da função f(x) com a g(x):

Para encontrarmos estes pontos, temos que fazer f(x) = g(x). Então,

f(x) = g(x)
10x - x² - 9 = 7
10x - x² - 9 - 7 = 0
10x - x² - 16 = 0

Aplicando Báskara:

a = -1
b = 10
c = -16

Δ = 10² - 4.(-1).(-16)
Δ = 100 - 64
Δ = 36

x = (-b ± √ Δ)/2a
x =(-10 ± √ 36)/2(-1)
x = (-10 ± 6)/-2

x' = 2 e x'' = 8.

Logo, os pontos de intersecção dos gráficos de f(x) e g(x) são x' = 2 e x'' = 8.

O passo seguinte é encontrar os pontos onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo x. Então,

f(x) = 0
10x - x² - 9 = 0

Aplicando Báskara:

a = -1
b = 10
c = -9

Δ = 10² - 4.(-1).(-9)
Δ = 100 - 36
Δ = 64

x = (-b ± √ Δ)/2a
x =(-10 ± √ 64)/2(-1)
x = (-10 ± 8)/-2

x''' = 1 e x'''' = 9.

Logo, os pontos de intersecção dos gráficos de f(x) com o eixo x são x''' = 1 e x'''' = 9.

Agora que temos os 4 pontos do quadrilátero convexo, vamos esboçar o gráfico de f(x) e g(x) juntamente com o quadrilátero.




Observando o gráfico, vemos que o quadrilátero é um trapézio. Para calcular a área precisaremos da base maior(B), base menor(b) e altura(h).

Dados:

B = 9 - 1 = 8
b = 8 - 2 = 6
h = 7

A área do trapézio é:

A = [(B + b).h]/2
A = [(8 + 6).7]/2
A = (14.7)/2
A = 7.7
A = 49

Logo, a área do trapézio vale 49.

ALTERNATIVA C

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