Trigonometria


Vamos resolver uma questão envolvendo trigonometria do vestibular da FUVEST 2002 - 1ª fase.

A questão é:



sen⁴ α - cos⁴ α = 1/4
(sen² α + cos² α )(sen² α - cos² α ) = 1/4

Pelo principio fundamental da trigonometria:

sen² α + cos² α = 1

Então,

(sen² α + cos² α )( sen² α - cos² α ) = 1/4
(sen² α - cos² α ) = 1/4

Sabemos que:

sen² α + cos² α = 1
cos² α = 1 - sen² α

Então,

sen² α - cos² α = 1/4
sen² α - (1 - sen² α ) = 1/4
sen² α - 1 + sen² α ) = 1/4
2 sen² α = 1/4 + 1
2 sen² α = 5/4
sen² α = 5/8
sen α = ± √ 5/ √ 8

Sabemos também que:

sen² α + cos² α = 1
sen² α = 1 - cos² α

Então,

sen² α - cos² α = 1/4
(1 - cos² α ) - cos² α ) = 1/4
-2cos² α = 1/4 - 1
2cos² α = 3/4
cos² α = 3/8
cos α = ± √ 3/ √ 8

Como α pertence ao intervalo [0, π /2], sen α e cos α são positivos. Logo,

sen α = + √ 5/ √ 8
cos α = + √ 3/ √ 8

Temos que tg α = sen α / cos α

Então, tg α = ( √ 5/ √ 8)/( √ 3/ √ 8)

tg α = ( √ 5/ √ 8).( √ 8/ √ 3)
tg α = √ 5/ √ 3

Portanto,



ALTERNATIVA B

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