Igualdade de Polinômios

Capítulo 16

Seção 16.3

Sejam dois polinômios P(x) e Q(x). Para que ambos sejam iguais:

- os coeficientes dos termos devem ser iguais. (condição suficiente).
- o valor numérico de ambos devem ser iguais para qualquer valor de x.

Exemplo:

1) Seja P(x) = x² + 5x - 1 e Q(x) = (a + b)x² + (a - b)x - 1. Supondo que os polinômios sejam iguais, calcule a e b.

Resolução:

P(x) e Q(x) são iguais:

P(x) ≡ Q(x).

Então,

x² + 5x - 1 ≡ (a + b)x² + (a - b)x - 1

De onde, teremos:

a + b = 1
a - b = 5

Somando as equações acima:

2a = 6
a = 6/2
a = 3

Substituindo a na primeira equação:

3 + b = 1
b = 1 - 3
b = -2

Então, a = 3 e b = -2

Agora que achamos os valor de a e b, vamos calcular o valor númerico de P(x) e Q(x) para x = 2.

P(x) = x² + 5x - 1
P(2) = 2² + 5.2 - 1
P(2) = 4 + 10 - 1
P(2) = 13

Q(x) = (a + b)x² + (a - b)x - 1

Mas a = 3 e b = -2

Q(x) = (3 - 2)x² + (3 + 2)x - 1
Q(x) = x² + 5x - 1
Q(2) = 2² + 5.2 - 1
Q(2) = 4 + 10 - 1
Q(2) = 13
r> Portanto, P(x) e Q(x) têm o mesmo valor numérico.

2) Dado P(x) = (2a - b + 1)x² + (-a + 3b + 2)x, calcule os valores de a e b para que P(x) seja identicamente nulo.

Resolução:

Para que P(x) seja identicamente nulo, seus coeficientes devem valer zero. Portanto,

2a - b + 1= 0
-a + 3b + 2= 0

Multiplicando a segunda equação por 2, teremos:

2a - b + 1= 0
-2a + 6b + 4= 0

Somando as duas equações:

5b + 5 = 0
5b = -5
b = -5/5
b = -1

Substituindo b na primeira equação:

2a + 1 + 1 = 0
2a = -2
a = -2/2
a = -1

Portanto, a = -1 e b = -1