Soma dos N Termos de Uma P.G. Finita

Capítulo 9

Seção 9.4

A soma dos "n" termos de uma P.G. finita é dada pela seguinte fórmula:


Onde:

S_n é a soma dos n termos.
a₁ é o primeiro termo.
q é a razão
n é o número de termos.

Demonstração:

Sendo uma P.G. finita com n termos e S_n a soma dos n termos desta P.G. temos:

S_n = a₁ + a₁q + a₁q²+ ...+ a₁q^{n - 1}    termo I

Vamos pegar agora o termo I e mulplicar por "q". Vai ficar:

qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³+ ...+ a₁q^{n - 1} + a₁ qⁿ    termo II

Por fim, subtraímos o termo II pelo termo I:

S_n = a₁ + a₁q + a₁q²+ ...+ a₁q^{n - 1}
qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³+ ...+ a₁q^{n - 1} + a₁ qⁿ
qS_n - S_n = -a₁ + a₁qⁿ =>
S_n(q - 1) = a₁(qⁿ - 1)

Logo,

CASO PARTICULAR:

Quando q = 1, teremos a seguinte fórmula da soma dos n termos de uma P.G. finita:

Exemplo:

a) A soma dos 6 primeiros da P.G., (2, 12, 72,...) vale:

Resolução:

Para resolvermos essa questão, fazemos uso da fórmula da soma dos n termos de uma P.G. finita.

Dados:

S_n = ?
n = 6
q = 12/2 = 6
a₁ = 2

Substituindo na fórmula da soma dos n termos, teremos:

S₆ = 2(6⁶ - 1)/(6 - 1)
S₆ = 2(46656 - 1)/5
S₆ = 2(46655)/5
S₆ = 2(9331)
S₆ = 18662

Portanto, a soma do 6 primeiros da P.G. vale S₆ = 18662

Exemplo 2:

b) Dada a P.G. (3, 12, 48,...), a soma de n termos da P.G. finita resultou 16383. Quantos termos tem esta P.G. ?

Dados:
S_n = 16383
n = ?
q = 12/3 = 4
a₁ = 3

Substituindo na fórmula da soma dos n termos, teremos:

16383 = 3(4ⁿ - 1)/(4 - 1)
16383 = 3(4ⁿ - 1)/3
16383 + 1 = 4ⁿ
16384 = 4ⁿ
4⁷ = 4ⁿ
7 = n
n = 7

Portanto, o número de termos para que a soma desta P.G. seja 16383 é n = 7.