Sistema de Uma P.A.

Capítulo 8

Seção 8.5

Para resolvermos sistema de uma P.A. , fazemos uso de um artifício: deixamos os termos da P.A. em função de a₁ e r.

Exemplos:

a) a₃ = a₁ + 2r
b) a₆ = a₁ + 5r
c) a₈ = a₁ + 7r
d) a₁₂ = a₁ + 11r


Vamos resolver um sistema.

1) Sabendo que a₂ + a₄ = 20 e a₃ + a₅ = 30, encontre esta P.A.

Vamos escrever a₂, a₄, a₃ e a₅ em função de a₁ e r.

a₂ = a₁ + r
a₄ = a₁ + 3r
a₃ = a₁ + 2r
a₅ = a₁ + 4r

Substituindo em a₂ + a₄ = 20 e a₃ + a₅ = 30, teremos:
(a₁ + r) + (a₁ + 3r) = 20
(a₁ + 2r) + (a₁ + 4r) = 30

Fazendo as somas no sistema, vamos ter:

2a₁ + 4r = 20
2a₁ + 6r = 30

Subtraindo as duas expressões do sistema:

2a₁ + 4r = 20
2a₁ + 6r = 30
0 -2r = -10

-2r = -10
2r = 10
r = 10/2
r = 5

Portanto, a nossa razão vale r = 5.

Com este valor, podemos achar a₁

Subsituindo em 2a₁ + 4r = 20:

2a₁ + 4r = 20 =>
2a₁ + 4.5 = 20 =>
2a₁ = 20 - 20 =>
2a₁ = 0
a₁ = 0/2
a₁ = 0

Logo, nosso a₁ = 0.

Com estes resultados, conseguimos escrever a nossa P.A.

P.A. (0, 5, 10, 15, 20,...)