Soma dos N Termos de Uma P.A.

Capítulo 8

Seção 8.4

A soma dos n termos de uma P.A. é dada pela seguinte fórmula:


Onde:

S_n é a soma dos n termos.
a₁ é o primeiro termo.
a_n é o enésimo termo.
n é o número de termos.

Demonstração:

Sendo uma P.A. finita com n termos e S_n a soma dos n termos desta P.A. temos:

S_n = a₁ + a₂ + a₁+ ...+ a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_n +
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ... + a₃ + a₂ + a₁
2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂+ a_{n - 1})...+ (a_{n - 1} + a₂) + (a_n + a₁)

A soma (a₂+ a_{n - 1}) é igual a soma dos extremos (a₁ + a_n). Isso ocorre, porque a₂ e a_{n - 1} são
equidistantes aos extremos, ou seja, tem igual a mesma distancia dos extremos a₁ e a_n, respectivamente.

Portanto, todas as somas dos termos internos da nossa P.A. serão iguais a (a₁ + a_n).

Sabendo disso, substituímos todos os termos da nossa soma com (a₁ + a_n):

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) +... + (a₁ + a_n)=
2S_n = (a₁ + a_n).n =
S_n = ((a₁ + a_n).n)/2 =

Logo,

Exemplo:

a) A soma dos 40 primeiros da P.A, (1, 4, 7,...) vale:

Resolução:

Para resolvermos essa questão, fazemos uso das fórmulas do termo geral da P.A. e da soma dos n termos.

a_n = a₁ + (n - 1).r

Dados:

a₄₀ = ?
n = 40
r = 4 - 1 = 3
a₁ = 1

Substituindo na fórmula do termo geral:

a₄₀ = 1 + (40 - 1).3
a₄₀ = 1 + 39.3
a₄₀ = 1 + 117
a₄₀ = 118

Agora que temos o a₄₀, podemos usar a fórmula da soma dos n termos.

S_n = ((a₁ + a_n).n)/2
S₄₀ = ((a₁ + a₄₀).40)/2
S₄₀ = ((1 + 118).40)/2
S₄₀ = (119.40)/2
S₄₀ = 4760/2
S₄₀ = 2380

Portanto, a soma do 40 primeiros da P.A. vale S₄₀ = 2380