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Números Binomiais Complementares


Capítulo 14

Seção 14.4


Binômio de Newton

O Binômio de Newton é dado pela seguinte fórmula:

na figura temos o termo (x + a) elevado a n igual a um par de colchetes com n na primeira linha e zero na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo a elevado a zero vezes x elevado a n. Tudo isso mais um par de colchetes com n na primeira linha e 1 na segunda linha vezes ao termo a vezes x elevado a (n menos 1). Tudo isso mais um par de colchetes com o n na primeira linha e 2 na segunda linha vezes ao termo a elevado a 2 vezes x elevado a (n menos 2). Tudo isso mais + 3 pontos que representam infinitos termos com par de colchetes mais um par de colchetes com n na primeira linha e n na segunda linha. Esse par de colchetes vezes a elevado a n vezes x elevado a zero.


Observações:

- as potências do termo x vão diminuindo de n até zero.
- as potências do termo a vão crescendo de zero até n.
- os coeficientes binomiais formam uma linha do triângulo de Pascal.
- ao expandir (x + a)n possui (n + 1) termos.


Exemplos:

1) Expandir a equação (x + 5)4:


Resolução:

na figura temos o termo (x + 5) elevado a 4 igual a um par de colchetes com 4 na primeira linha e zero na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 5 elevado a zero vezes x elevado a 4. Tudo isso mais um par de colchetes com 4 na primeira linha e 1 na segunda linha . Esse par de colchetes vezes ao termo 5 vezes x elevado a (4 menos 1). Tudo isso mais um par de colchetes com o 4 na primeira linha e 2 na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 5 elevado a (2) vezes x elevado a (4 menos 2). Tudo isso mais um par de colchetes com o 4 na primeira linha e 3 na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 5 elevado a (3) vezes x elevado a (4 menos 3). Tudo isso mais um par de colchetes com o 4 na primeira linha e 4 na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 5 elevado a (4) vezes x elevado a (4 menos 4). Tudo isso igual a 1 vezes 1 a x elevado a (4) mais 4 vezes 5 vezes x elevado a (3) mais 6 vezes 25 vezes x elevado a (2) + 4 vezes 125 vezes x + 1 vezes 625. Isso é igual a x elevado a (4) + 20 vezes x elevado a (3) + 150 vezes x elevado a (2) + 500 vezes x + 625.


2) Expandir a equação (x - 1)3:

na figura temos o termo (x - 1) elevado a 3 igual a um par de colchetes com 3 na primeira linha e zero na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 1 elevado a zero vezes 3 elevado a (3). Tudo isso menos um par de colchetes com 3 na primeira linha e 1 na segunda linha . Esse par de colchetes vezes ao termo 1 vezes x elevado a (3 menos 1). Tudo isso mais um par de colchetes com o 3 na primeira linha e 2 na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 1 elevado a (2) vezes x elevado a (3 menos 2). Tudo isso menos um par de colchetes com o 3 na primeira linha e 3 na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo 1 elevado a (3) vezes x elevado a (3 menos 3). Tudo isso igual a 1 vezes 1 a x elevado a (3) menos 3 vezes 1 vezes x elevado a (2) mais 3 vezes 1 vezes x menos 1 vezes 1 vezes x elevado a 0. Isso é igual a x elevado a (3) menos 3 vezes x elevado a (2) + 3 vezes x menos 1. Uma observação: Quando nós resolvemos exercício do tipo (x menos a) elevado a n, os coeficientes ímpares têm valores positivos. Já os coeficientes pares têm valores negativos. Confira neste exercício.
Vamos usar os números naturais para expandir o termo (x + a)n

na figura temos n igual a zero. Depois (x + a) elevado a n que é igual a (x + a) elevado a 0 que é igual a 1. Isso equivale a um par de colchetes com 0 na primeira linha e 0 na segunda linha. Em seguida temos n = 1. Depois (x + a) elevado a n que é igual a (x + a) elevado a 1 que é igual a 1 vezes x + 1 vezes ao termo a. Isso equivale a um par de colchetes com 1 na primeira linha e 0 na segunda linha vezes um par de colchetes com 1 na primeira linha e 1 na segunda linha. Em seguida temos n = 2. Depois (x + a) elevado a n que é igual a (x + a) elevado a 2 que é igual a x elevado a (2) + 2ax + 1 vezes a elevado a (2). Isso equivale a um par de colchetes com 2 na primeira linha e 0 na segunda linha vezes um par de colchetes com 2 na primeira linha e 1 na segunda linha vezes um par de colchetes com 2 na primeira linha e 2 na segunda linha . Em seguida temos n = 3. Depois (x + a) elevado a n que é igual a (x + a) elevado a 3 que é igual a x elevado a (3) + 3ax elevado a (2) + 3 vezes o termo a elevado a (2) vezes x + 1 vezes a elevado a (3). Todos estes termos tem os 3 pontos que indicam infinitos termos até chegar a próxima figura.

E para n = n, teremos:
na figura temos o termo (x + a) elevado a n igual a um par de colchetes com n na primeira linha e zero na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo a elevado a zero vezes x elevado a n. Tudo isso mais um par de colchetes com n na primeira linha e 1 na segunda linha vezes ao termo a vezes x elevado a (n menos 1). Tudo isso mais um par de colchetes com o n na primeira linha e 2 na segunda linha vezes ao termo a elevado a 2 vezes x elevado a (n menos 2). Tudo isso mais + 3 pontos que representam infinitos termos com par de colchetes mais um par de colchetes com n na primeira linha e n na segunda linha. Esse par de colchetes vezes ao termo a elevado a n vezes x elevado a zero.

Justamente a fórmula do Binômio de Newton.



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