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Número Binomial


Capítulo 14

Seção 14.1


Definição:

Sejam n e p, números naturais. O par de valores Cn,p chama-se número binomial.

Repare que o número binomial é uma combinação simples. A representação que usaremos para o número binomial será essa:

na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o n e na segunda linha o p. Esse esquema se lê como binomial de n sobre p.

Logo, o número binomial será:
na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o n e na segunda linha o p. Esse esquema é igual a n fatorial dividido por p fatorial vezes (n menos p) fatorial. Temos as seguintes condições: n pertence ao conjunto dos naturais, p pertence ao conjunto dos naturais e n maior ou igual a p.


Valores de números binomiais especiais:

na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o n e na segunda linha o 0. Tudo isso igual a 1. Para todo n pertencente ao conjunto dos naturais.
na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o n e na segunda linha o n. Tudo isso igual a 1. Para todo n pertencente ao conjunto dos naturais.
na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o n e na segunda linha o 1. Tudo isso igual a n. Para todo n pertencente ao conjunto dos naturais e n maior que 1.


Exemplo:

1) Some os números binomais abaixo:

na figura temos um par de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o 5 e na segunda linha o 3 mais outro de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o 4 e na segunda linha o 2 mais outro de colchetes com duas linhas. Na primeira linha temos o 8 e na segunda linha o 8.

Resolução:

na figura temos 5 fatorial dividido por três fatorial vezes (5 menos 3) fatorial que é igual a 5 fatorial dividido por 3 fatorial vezes 2 fatorial. Tudo isso é igual a 5 vezes 4 vezes 3 fatorial dividido por três fatorial vezes 2 fatorial. Isso é igual a 5 vezes 4 dividido por dois fatorial que é igual a 20 dividido por 2 que é igual a 10. Também temos 4 fatorial dividido por 2 fatorial vezes (4 menos 2) fatorial que é igual a 4 fatorial dividido por 2 fatorial vezes 2 fatorial. Tudo isso é igual a 4 vezes 3 vezes 2 fatorial dividido por 2 fatorial vezes 2 fatorial. Isso é igual a 4 vezes 3 dividido por dois fatorial que é igual a 12 dividido por 2 que é igual a 6. Por fim, temos um par de colchetes com duas linhas onde a primeira linha tem 8 e a segunda tem 8. Isso tudo é igual a 1.

Então, 10 + 6 + 1 = 17.

Portanto, o valor da soma dos números binomiais é 17.



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