Geometria Plana


Vamos resolver uma questão envolvendo geometria plana do vestibular da UFRGS 2016.

A questão é:



A amplitude de um ângulo interno de um polígono é dado por:

A = [180 . (n - 2)]/n

O pentágono regular tem 5 lados, ou seja, n = 5. Portanto,

A = [180^o . (n - 2)]/n
A = [180^o . (5 - 2)]/5
A = [180^o . 3]/5 A = 540^o/5 A = 108^o

Logo, o ângulo interno de um pentágono regular vale 108^o

Observe a figura abaixo:



- O ângulo C vale 180^o. O ângulo alfa vale alfa = C - 108^o = 180^o - 108^o = 72^o
Portanto, alfa = 72^o

- Os ângulos alfa e beta são alternos internos. Portanto, têm o mesmo valor. Logo, ângulo beta = 72^o.

- O ângulo D vale 108^o. O ângulo gama vale gama = D - 72^o = 108^o - 72^o = 36^o
Portanto, gama = 36^o.

- O ângulo alfa e o ângulo B são congruentes. Logo, o ângulo B vale 72^o

- O ângulo A vale A = 180^o - 36^o - 72^o = 72^o.
Portanto, o ângulo A vale 72^o.

- O triângulo hachurado é isósceles, pois possui 2 ângulo iguais. Como o lado "a" é igual a 1, o lado "b" também será igual a 1, pois como vimos, o
triângulo é isósceles.

Para calcular a área deste triângulo, usamos a fórmula:

Área = (a.b. sen gama)/2

Dados:
a = 1
b = 1
gama = 36^o

Substituindo na fórmula:

Área = (a.b. sen gama)/2
Área = (1.1. sen 36^o)/2
Área = sen 36^o/2

ALTERNATIVA A

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