Produtos Notaveis
Hoje iremos fazer uma questao envolvendo produtos notaveis do vestibular da FUVEST 2020 - 1a. fase.
A questao é :
Em primeiro lugar, vamos expandir (x - a)3 .
(x - a)(x - a) = x2 - 2ax + a2
(x - a)(x2 - 2ax + a2) =
x3 - 2ax2 + xa2 - ax2 + 2xa2 - a3 =
x3 - 3ax2 + 3a2x - a^3
Agora, vamos expandir (x - b)3 .
(x - b)(x - b) = x2 - 2bx + b2
(x - b)(x2 - 2bx + b2) =
x3 - 2bx2 + xb2 - bx2 + 2xb2 - b3 =
x3 - 3bx2 + 3b2x - b^3
Temos que:
(x - a)3 - (x - b)3 =
x3 - 3ax2 + 3a2x - a^3 - [x3 - 3bx2 + 3b2x - b^3] =
x3 - 3ax2 + 3a2x - a^3 - x3 + 3bx2 - 3b2x + b^3 =
- 3ax2 + 3bx2 + 3a2x - 3b2x - a^3 + b^3
Do enunciado da questao temos que:
3x2 - 9x + 7 = (x - a)3 - (x - b)3
3x2 - 9x + 7 = - 3ax2 + 3bx2 + 3a2x - 3b2x - a^3 + b^3
Igualando os coeficientes, teremos:
(-3a + 3b) = 3 (coeficiente do x2)
(-3a2 - 3b2) = -9 (coeficiente do x)
-a3 + b3 = 7
Temos que:
(-3a + 3b) = 3 ou
-a + b = 1 ou (dividindo tudo por 3)
a - b = -1 (multiplicando tudo por -1)
Por fim, teremos que:
(3a2 - 3b2) = -9 ou
a2 - b2 = -3 ou
(a + b)(a - b) = -3
(a + b).(-1) = -3
(a + b) = -3/-1
(a + b) = 3
ALTERNATIVA A
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