Raízes de Uma Função de 2o. grau

Capítulo 4

Seção 4.3

Definição:

As raízes de uma função de segundo grau são aquelas que zeram a função, ou seja, quando temos f(x) = 0. Estas raízes também pode ser chamadas de zeros da função de 2o. grau.

Exemplo:

Encontre as raízes da função f(x) = x² - 2x - 3

Resolução:

Para resolvermos a equação de 2o. grau, devemos fazer uso da fórmula de Bhaskara abaixo.

Nessa equação temos:

a = 1
b = -2
c = -3

Vamos primeiramente calcular o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.(-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16

Agora vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √ Δ)/ 2a
x = (-(-2) ± √ 16)/ 2.1
x = (2 ± 4) / 2

Agora que temos o valor de x, podemos encontrar as raízes x' e x'' fazendo os seguintes cálculos:

x' = (2 + 4) / 2
x' = 6 / 2
x' = 3

x'' = (2 - 4) / 2
x'' = -2 / 2
x'' = -1

Portanto, as raízes da função f(x) = x² - 2x - 3 são x' = 3 e x'' = -1.

A soma de duas raízes é dada pela fórmula x' + x'' = -b/a.

Vamos verificar com as raízes do exemplo:
x' + x'' = 3 - 1 = 2
-b/a = -(-2)/1 = 2

Logo, x' + x'' = -b/a.

O produto de duas raízes é dada pela fórmula x'.x'' = c/a

Verificando com as raízes do exemplo acima, temos:
x'.x'' = 3.(-1) = -3
c/a = -3/1 = -3

Logo, x'.x'' = c/a

Para os valores de Δ, temos as seguintes definições:

- Δ > 0 temos duas raízes diferentes (x' ≠ x'')
- Δ = 0 temos duas raízes iguais (x' = x'')
- Δ < 0 não temos raízes nos números reais

Exercício 1:

Encontre as raízes da função f(x) = x² - 4x + 4.

Na equação temos:

a = 1
b = -4
c = 4

Calculando o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4.1.(4)
Δ = 16 - 16
Δ = 0

Agora vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √ Δ)/ 2a
x = (-(-4) ± √ 0)/ 2.1
x = (4 ± 0) / 2

Tendo o valor de x, podemos encontrar as raízes x' e x'' fazendo os seguintes cálculos:

x' = (4 + 0) / 2
x' = 4 / 2
x' = 2

x'' = (4 - 0) / 2
x'' = 4 / 2
x'' = 2

Portanto, temos x'= x'' = 2, ou seja, duas raízes iguais, porque o nosso Δ vale zero.

Exercício 2:

Encontre as raízes da função f(x) = x² - 5x + 12.

Na equação temos:

a = 1
b = -5
c = 12

Calculando o delta (Δ)

Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4.1.(12)
Δ = 25 - 48
Δ = -23

Neste caso, não temos raízes reais, porque nosso delta é menor que zero (Δ < 0).